[위험과 포트폴리오 이론] 불확실성하의 의사결정, 기대효용이론, 평균-분산모형, 포트폴리오 이론, 마코위츠의 완전공분산모형, 샤프의 시장모형, 마코위츠 모형과 샤프 모형의 비교

1. 불확실성하의 의사결정

실제성과(오피셜)와 기대성과(뇌피셜)이 다를 가능성

🖍 기댓값$E(X)$, 표준편차$\sigma_X$, 분산($=\sigma_X^2=Var(x)$) 등으로 측정됨

🖍 기대가치 극대화 기준이나 기대효용 극대화 기준으로 평가

🖍 포트폴리오 이론은 평균-분산 기준을 기본가정으로 함

 

2. 기대효용이론

(1) 기대가치 극대화

$ E(W) = \sum P_i W_i $

🖍 위험을 고려하지 않는 의사결정

 

(2) 기대효용 극대화

$ E[U(W)] = \sum P_i U(W_i) $

🖍 위험을 고려하는 주관적인 의사결정(투자자의 위험에 대한 태도에 따라 달라짐)

 

(3) 기대효용이론

1) 확실성등가CEQ

$ U(CEQ) = E[U(W)] = \sum P_i U(W_i) $

🖍 확실한 부(CEQ)에서 얻을 수 있는 효용(어떤 위험자산에서 얻을 수 있는 기대효용과 동일한 효용을 주는 확실한 부의 수준)

 

2) 위험프리미엄RP

$ R.P. = 기대부 - CEQ $

🖍 위험을 회피하기 위해 지불할 수 있는 최대금액(위험제거를 위해 지불할 수 있는 최대보험료)

 

3) 겜블의 비용(cost of gamble)

$ 겜블의 비용 = 현재부 - CEQ $

🖍 게임에 참가하기 위해 지불하는 암묵적 비용(양(+)의 비용을 가지면 게임에 참가하지 않고 음(-)의 비용을 가지면 게임에 참가하는 것이 이득이므로 추가적인 비용을 지불하더라도 게임에 참가하려 함)

🖍 공정한 게임의 경우, 위험기피자에게는 게임의 비용이 항상 양(+)이어야 함(위험을 부담하므로)

 

(4) 위험에 대한 태도

위험에 대한 태도	CEQ	R.P.	E[U(W)]와 U(E[W])
위험기피자 risk averse	CEQ < E(W) 🖍 기대이익을 포기하더라도 확실한 부를 얻고싶어 함	R.P. = E(W) - CEQ > 0	E[U(W)] < U(E[W]) 🖍 효용의 기댓값보다 기댓값의 효용이 더 큼
위험중립자 risk neutral	CEQ = E(W)	R.P. = E(W) - CEQ = 0	E[U(W)] = U(E[W])
위험선호자 risk loving	CEQ > E(W)	R.P. = E(W) - CEQ < 0	E[U(W)] > U(E[W])

 

3. 평균-분산모형mean-variance model

(1) 의미

$ f(E(R), \sigma^2) $

🖍 객관적인 기댓값과 분산을 중심으로 지배원리를 적용

 

(2) 평균-분산 기준의 가정

1. 미래수익률이 정규분포이거나 효용함수가 2차함수(quadratic function)
2. 평균과 분산을 통한 효용분석 가능

 

(3) 지배원리dominance principle

1. 위험수준($\sigma_i$)이 같다면 기대수익률($E(R_i))$)이 가장 높은 자산을 선택
2. 기대수익률($E(R_i))$)이 같다면 위험수준($\sigma_i$)이 가장 낮은 자산을 선택하는 원리

 

(4) 평균-분산 기준에 의한 위험자산 선택

1. <1단계> 지배원리에 의한 효율적 자산 선택(객관적)
2. <2단계> 효율적인 자산 중 무차별곡선에 의하여 효용을 극대화하는 최적자산을 선택(주관적)

 

4. 포트폴리오 이론

(1) 포트폴리오 의의

계란을 한 바구니에 담지 않으므로써 위험을 분산한다는 의미(=분산투자효과=포트폴리오효과)

 

(2) 포트폴리오 이론의 가정

1. 모든 투자자들은 위험을 싫어하고 수익을 좋아한다(기대효용 극대화)
2. 모든 투자자는 평균-분산 기준에 의해 투자한다.
3. 모든 투자자들은 미래수익률에 대하여 동질적 기대를 한다.
4. 투자기간은 단일기간이다.

 

(3) 포트폴리오 이론을 위한 기초 통계

구분	산식
기대수익률$E(R_i)$	$ E(R_i) = \sum P_i R_i $ 🖍 수익률을 각 상황이 발생할 확률로 가중평균한 값
분산$\sigma_i^2$	$$ Var(R_i) = \sigma_i^2 \\ = \sum [R_i - E(R_i)]^2 \cdot P_i \\ = E(R_i^2) - [E(R_i)]^2 $$
표준편차$\sigma_i$	$$ \sigma_i = \sqrt {Var(R_i)} $$
공분산$\sigma_{ij}$	$$ Cov(R_i, R_j) = \sigma_{ij} \\ = E[(R_i - E(R_i))(R_j - E(R_j))] \\ = E(R_i \cdot R_j) - E(R_i)E(R_j) $$
상관계수$\rho_{ij}$	$$ \rho_{ij} = \sigma_{ij}/(\sigma_i \cdot \sigma_j) \\ -1 \leq \rho_{ij} \leq 1 $$

 

5. 마코위츠의 완전공분산모형

위험자산만으로 구성된다는 점에서 CAPM가 다름

(1) 2개 자산 모형

$ E(r_P) = w E(r_i) + (1 - w) E(r_2) $

$ \sigma_P^2 = w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2 + 2w(1-w) \sigma_{12} $

📝 포트폴리오의 분산의 분해 및 조립

$ w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + w_1 w_2 \sigma_{12} $	$ w_1 \sigma_1 $	$ w_2 \sigma_2 $
$ w_1 \sigma_1 $	$ w_1 w_1 \sigma_{11} $	$ w_1 w_2 \sigma_{12} $
$ w_2 \sigma_2 $	$ w_2 w_1 \sigma_{21} $	$ w_2 w_2 \sigma_{22} $

📝 최초분산포트폴리오(MVP)

포트폴리오의 분산을 가중치로 편미분한 값이 0이 되는 가중치를 계산하여 도출

$ \partial \sigma_P^2/\partial w = 0 → w = (\sigma_2^2 - \sigma_{12})/(\sigma_1^2+\sigma_2^2 - 2 \sigma_{12}) $

📝 MVP 도출

\begin{split}
\partial \sigma_P^2 / \partial w_1 = 0 \\
\leftrightarrow 2w \sigma_1^2 + 2w(1-w)(-1) \cdot \sigma_2^2 + 2(1)(1-w) \sigma_{12} + 2w(-1) \cdot \sigma_{12} \\
= w \sigma_1^2 - \sigma_2^2 + w \sigma_2^2 + \sigma_{12} - w \sigma_{12} - w \sigma_{12} = 0 \\
\leftrightarrow (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_{12}) w_1 &= \sigma_2^2 - \sigma_{12} \\
w^* = (\sigma_2^2 - \sigma_{12})/(\sigma_1^2+\sigma_2^2 - 2 \sigma_{12})
\end{split}

📝 상관계수에 따른 포트폴리오 성질

상관계수	$E(r_P)$	$\sigma_P$	$MVP(w^*)$
$\rho = 1$	$w_1 E(R_1) + w_2 E(R_2) $	$ w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 $	$ \sigma_2/(\sigma_2 - \sigma_1) $
$\rho = -1$		$ | w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 | $	$ \sigma_2/(\sigma_2 + \sigma_1) $
$\rho = 0$		$ \sqrt{w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2} $	$ \sigma_2^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2) $

 

(2) N개 주식으로 구성된 포트폴리오

$ E(r_P) = \sum w_i E(r_i) $

$ \sigma_P^2 = \sum w_i^2 \sigma_i^2 + \sum \sum w_i w_j \sigma_{12} \quad (i \neq j) $

📝 포트폴리오위험에 대한 개별주식의 공헌도

	$w_1$	$w_2$	$\cdots$	$w_n$
$w_1$	$\sigma_{11}$	$\sigma_{12}$	$\sigma_{1j}$	$\sigma_{14}$
$w_2$	$\sigma_{21}$	$\sigma_{22}$
$\vdots$	$\sigma_{i1}$		$\sigma_{ij}$
$w_n$	$\sigma_{n1}$			$\sigma_{nn}$

🖍 공헌도 : $w_i \sigma_ip$ (모두 합하면 $\sigma_P^2$)

🖍 공헌비율 : $(w_i \sigma_{ip})/\sigma_P^2$ (모두 합하면 1)

 

(3) 균등가중 N개 주식 포트폴리오($w_i=(1/N)$)

$ \sigma_P^2 = \sum w_i^2 \sigma_i^2 + \sum \sum w_i w_j \sigma_{12} \quad (i \neq j) $

$ \sigma_P^2 = (1/N)(\overline{\sigma_i^2} - \overline{\sigma_{ij}}) + \overline{\sigma_{ij}} $

📝 필요정보수(총 $[(N^2+3N)/2]$개

$E(r_i)$→N개, $\sigma_i^2$→N개, $\sigma_{ij}→[N(N-1)]/2$개

 

(4) 완전분산투자 포트폴리오

$ \lim \limits_{N→\infty} (1/N)(\overline{\sigma_i^2} - \overline{\sigma_{ij}}) + \overline{\sigma_{ij}} = \overline{\sigma_{ij}} $

 

6. 샤프의 시장모형

단일요인모형임(cf. APT는 다요인모형)

(1) 시장모형의 기초

$ r_i = \alpha_i + \beta_i r_m + e_i $

$ \beta_i = \sigma_{im}/\sigma_m^2 = (\rho_{im} \cdot \sigma_i)/\sigma_m $

1) 단일모형

모든 위험자산의 수익률 변동을 설명해주는 단일의 공통요인이 존재한다고 가정하는 모형

 

2) 시장모형

시장포트폴리오의 수익률(r_m)을 단일의 공통요인으로 하여 개별증권의 수익률을 선형식으로 표현하는 모형

 

3) 시장모형의 가정

$ E(e_i) = 0, Cov(e_i, r_m) = 0, Cov(e_i, e_j) = 0 $

 

(2) 개별주식

$ E(r_i) = \alpha_i + \beta_i E(r_m) $

$ \sigma_i^2 = \beta_i^2 \sigma_m^2 + Var(e_i) $

$ \sigma_{ij} = \beta_i \beta_j \cdot \sigma_m^2 $

🖍 마코위츠 모형에서 분산과 공분산 값만 $Cov(r_i, r_j)=\beta_i \beta_j \cdot \sigma_m^2$으로 바꾸어 대입해주면 시장모형의 $\sigma_P^2$을 쉽게 구할 수 있음

📝 마코위츠모형의 공분산

$ \sigma_{ij} = \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j $

 

(3) 포트폴리오

$ E(r_P) = \alpha_P + \beta_P E(r_m) $

$ \sigma_P^2 = \beta_P^2 \sigma_m^2 + Var(e_P) $

🖍 알파$\alpha_P$와 베타$\beta_P$를 투자비중으로 가중평균함

🖍 잔차의 분산$Var(e_P)$은 투자비중의 제곱으로 가중평균함

 

(4) 필요정보의 양(총 3N+2개)

알파 N개, 베타 N개, 잔차분산 N개, 시장수익률 1개, 시장분산 1개

 

(5) 결정계수(설명능력)

총위험 중에서 체계적 위험이 차지하는 비중

$ R^2 = 설명능력 = 체계적위험/총위험 = (\beta_i^2 \sigma_m^2)/\sigma_i^2 = \rho_{im}^2 $

 

(6) 균등가중 N개 주식 포트폴리오($w_i=(1/N))

$ \sigma_P^2 = \beta_P^2 \sigma_m^2 + \sum (1/N)^2 Var(e_i) = \beta_P^2 \sigma_m^2 + \overline{Var(e_i)}/N $

 

 

(7) 시장모형의 유용성과 한계점

구분	마코위츠모형	시장모형
유용성	$(N^2+3N)/2$	$3N+2$
한계점	주식수익률 형성과정이나 주식수익률간 공분산에 대하여 아무런 가정이 없음	Cov(e_i, e_j) = 0 🖍 가정이 성립하지 않으면 모형의 정확성이 떨어짐

 

7. 마코위츠 모형과 샤프 모형의 비교

(1) 개별주식

구분	마코위츠모형	시장모형
$ E(r_i) $	$E(r_i) = \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \cdot r_i $ 🖍 발생확률로 수익률을 가중평균	$ E(r_i) = \alpha_i + \beta_i E(r_m) $
$ Var(r_i) $	$ Var(r_i) = E[(r_i - E(r_i))^2] $	$ Var(r_i) = \beta_i^2 Var(r_m) + Var(e_i) $
$ Cov(r_i, r_j) $	$ Cov(r_i, r_j) = \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j $	$ Cov(r_i, r_j) = \beta_i \beta_j \cdot \sigma_m^2 $

 

(2) 포트폴리오

구분	마코위츠모형	시장모형
$ E(r_P) $ 🖍 2개 주식	$ E(r_P) = w_i r_i + w_j r_j $	$ E(r_P) = w_i r_i + w_j r_j $
$ E(r_P) $ 🖍 N개 주식	$ E(r_P) = \sum \limits_{i=1}^{n} w_i E(r_i) $	$ E(r_P) = \alpha_P + \beta_P E(r_m) $
$ Var(r_P) $ 🖍 2개 주식	$ Var(r_P) = w_i^2 + w_j^2 + w_i w_j \sigma_{ij} \\ = w_i^2 + w_j^2 + w_i w_j \rho_{12} \sigma_i \sigma_j $	$ Var(r_P) = \beta_P^2 Var(r_m) + Var(e_P) $
$ Var(r_P) $ 🖍 N개 주식	$ Var(r_P) = \sum \limits_{i=1}^{n} w_i^2 \sigma_i^2 + \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij} \\ (i \neq j) $	$ Var(r_P) = \beta_P^2 Var(r_m) + Var(e_P) $
$ Var(e_P) $	$ Var(e_P) = \sum \limits_{i=1}^{n} w_i^2 Var(e_i) \\ + \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} w_i w_j Cov(e_i, e_j) \quad (i \neq j) $	$ Var(e_P) = \sum \limits_{i=1}^{n} w_i^2 Var(e_i) $
$ Var(r_P) $ 🖍 동일가중포트폴리오	$ \lim \limits_{n→ \infty} Var(r_P) \cong \sigma_{ij} $	$ \lim \limits_{n→ \infty} Var(r_P) \cong \beta_P^2 Var(r_m) $