[CAPM과 APT] 마코위츠 모형, CAPM, CML, SML, CAPM가정의 현실화, APT

1. 마코위츠 모형

위험자산만 고려하여 최적자산을 선정(마코위츠 투자선), 무차별곡선과 접점에서 최적선택

(1) 효율적 투자선(경계선) 도출

분산 최소화, 기대수익률 극대화

 

(2) 최적포트폴리오 선택

효율적 투자선과 무차별곡선의 접점

 

2. CAPM의 기초

무위험자산도 고려하여 최적자산을 선정(자본시장선), 자본시장선과 무차별곡선과의 접점에서 최적선택

(1) 의의

자본시장이 균형일 때 자산의 기대수익률과 체계적위험($\beta$)의 선형관계

🖍 무위험자산이 존재함을 가정

 

(2) CAPM의 가정

1. 모든 투자자는 위험회피적이고 기대효용을 극대화함
2. 모든 투자자는 평균-분산기준에 의해 투자
3. 모든 투자자는 투자대상의 미래수익률에 대하여 동질적 기대
4. 투자기간은 단일가간
5. 무위험이자율로 차입과 대출에 제한이 없음(무위험자산의 도입)
6. 완전시장(세금, 거래비용, 정보획득비용 등 거래마찰 요인이 없음)이며 자산은 분할투자 가능
7. 자본시장은 균형

 

3. 자본시장선CML(시장포트폴리오 M)

(1) 효율적 투자선의 도출

자본시장선은 무위험자산이 존재할 경우의 효율적 투자선(efficient frontier)

🖍 투자자들이 위험자산과 무위험자산에 효율적으로 분산투자를 할 경우에 산출되는 위험과 기대수익률간의 선형관계

 

(2) 최적포트폴리오의 선택

[1단계] 위험에 대한 선호와 관계없이 시장포트폴리오M을 선택

🖍 시장포트폴리오M은 효율적 투자선CML과  마코위치의 효율적 투자선의 접점

📝 시장포트폴리오

1. 완전분산투자된 포트폴리오(시장총액가중치 비율로 투자한 것)
2. 포트폴리오의 위험(포트폴리오의 표준편차)은 시장포트폴리오의 표준편차에 투자비중을 곱한 금액
3. 포트폴리오와 시장포트폴리와의 상관계수는 1(나머지는 무위험자산이기 때문)
4. 포트폴리오의 체계적 위험은 시장포트폴리오의 체계적 위험에 투자비중을 곱한 금액

[2단계] 위험회피도에 따라 최적포트폴리오를 선택

 

4. 증권시장선SML

(1) 자본시장의 균형

초과이익의 기회가 존재하지 않아야 함(no arbitrage)

 

(2) 증권시장선SML의 의미

균형상태에서 모든 개별자산의 기대수익률과 체계적위험($\beta$)의 선형관계

 

(3) SML의 도출

모든 투자자들은 위험자산으로 시장포트폴리오만을 보유

🖍 균형상태에서 개별자산의 위험 1단위당 프리미엄은 시장포트폴리오의 위험 1단위당 프리미엄과 같아야 함

 

(4) 자본시장선CML과 증권시장선SML의 비교

1) 자본시장선CML

🖍 총위험($\sigma_p$)과 기대수익률간의 관계

🖍 완전분산투자가 이루어진 효율적 포트폴리오만 대상

 

2) 증권시장권SML

🖍 체계적위험($\beta$)과 기대수익률간의 관계

🖍 효율적 자산과 비효율적 자산을 포함한 모든 자산을 포함

 

3) CML과 SML

포트폴리오와 시장자산과의 상관계수가 1일 때 CML은 SML이 됨
$ \begin{split}
E(r_i) &= r_f + [E(r_m) - r_f ] \cdot \frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2} \\
&= r_f + [E(r_m) - r_f ] \cdot \frac{\rho_{im} \sigma_i \sigma_m }{\sigma_m^2} \\
&= r_f + [E(r_m) - r_f ] \cdot \frac{\rho_{im} \sigma_i }{\sigma_m} \\
&= r_f + [E(r_m) - r_f ] \cdot \frac{\sigma_i }{\sigma_m} \quad \cdots \quad (\rho_{im}=1)
\end{split} $

 

(5) 증권시장선SML의 활용

주식베타($\beta_L$)를 SML에 대입하여 기업의 자기자본비용($k_e$)을 계산

🖍 SML보다 위에 있으면 과소평가된 자산, 아래에 있으면 과대평가된 자산

 

(6) 투자성과평가(4가지 방법)

1) 샤프(Sharpe)지수

$r_P - r_f$를 총위험$\sigma_P$으로 나눈 값(RVAR : Reward-to-Variability Ratio)

2) 트레이너(Treynor)지수

$r_P - r_f$를 체계적위험$\beta_P$으로 나눈 값(RVAR : Reward-to-Volatility Ratio)

3) 젠센(jensen)지수(젠센의 알파)

실제성과와 예측치의 차이($ \alpha = AR = r_P - [r_f+(r_m - r_f) \beta_P] $

4) 평가비율(appraisal ratio)

젠센의 알파$\alpha$를 잔차의 표준편차$\sigma (e_i)$로 나눈 값

 

(7) 증권시장선의 이동

1) 기대인플레이션율의 변동

SML의 평행이동

 

2) 위험회피도의 변화

SML의 기울기 변화

 

(8) CAPM 가정의 현실화

1) 무위험자산이 존재하지 않는 경우(Black의 제로베타 CAPM)

$ Cov(r_z, r_m) = Cov(w_1r_1+w_2r_2, R_m) = Cov(w_1r_1+(1-w_1)r_2, r_m) = 0 $

$ E(r_i) = E(r_z) + [E(r_m) - E(r_z)] \beta_z $

$ \beta_z = \sigma_{im}/\sigma_{m}^2 $

🖍 2차에서는 M을 가지고 역산할 수도 있음

 

2) 이질적 기대가 존재하는 경우

서로 다른 기울기의 CML과 SML이 존재함

 

3) 차입이자율과 대출이자율이 다른 경우

CML이나 SML이 연속되지 않음(기울기가 다른 2개의 선으로 끊김)

 

4) 세금이 존재하는 경우

CML이나 SML이 하방이동함(동일한 위험에서 수익률의 감소)

 

5) 거래비용이 존재하는 경우

CML이나 SML이 선이 아닌 범위를 가진 띠가 됨

 

(9) CAPM의 검증가능성에 대한 비판(Roll's critique)

 

 

5. 차익거래가격결정모형APT(다요인모형)

(1) 차익거래가격결정모형의 가정

추가적인 자금부담 없음, 추가적인 위험부담 없음, 차익거래이익 없음(시장균형)

 

(2) 다요인 차익거래가격결정모형APT

$ r_i = E(r_i) + \beta_{i1} F_1 + \beta_{i2} F_2 + \cdots + \beta_{ik} F_k + e_i $

 

(3) 다요인 APT의 도출

$ r_i = \alpha + \beta_1 f_1 + \beta_2 f_2 + e_i $
$ E(r_i) = \alpha + \beta_1 \cdot E(f_1) + \beta_2 \cdot E(f_2) $
$ r_i - E(r_i) = \beta_1 ({f_1 - E(f_1)}) + \beta_2 ({f_2 - E(f_2)}) + e_i $

$ r_i = E(r_i) + \beta_{i1} F_1 + \beta_{i2} F_2 + e_i $

 

(4) CAPM과 APT의 비교

CAPM은 시장포트폴리오 수익률($r_m$)이라는 단일요인, APT는 다요인 모형

1) CAPM과 APT의 공통점

완전자본시장(no friction), 위험회피형 투자자, 동질적 기대(homogeneous expectation)

 

2) APT의 우위성

1. 가정이 완화된 보다 일반적 시장균형모형(미래수익률이 정규분포이거나 효용함수가 2차함수라는 가정 불필요)
2. 시장포트폴리오(M)와 무위험자산($r_f$) 불필요
3. 다요인모형이기 때문에 단일요인모형보다 설명능력 제고
4. 단일기간 뿐 아니라 다기간 분석 가능(시계열 분석 가능)