[옵션가치평가와 응용] 옵션가격결정모형(이항모형, 블랙-숄즈 모형), 옵션을 이용한 헤지

1. 이항모형(Binominal Option Pricing Model)

주가의 상승확률이나 하락확률가 무관함, 투자자들의 위험에 대한 태도와는 무관함

🖍 시장이 균형이어서 차익거래가 존재하지 않는다고 가정함

🖍 옵션가격 확률변수는 기초자산인 주가(시장포트폴리오 등은 옵션가격과 무관함)

	$ uS+mC_u $
$ S+mC $	$=$
	$ dS+mC_d $

(1) 무위험채권을 복제하는 방법(무차익원리를 이용)

$$ (S+mC)(1+r_f)=uS+mC_u=dS+mC_d \quad \therefore m= -\frac{uS-dS}{C_u-C_d} $$

 

(2) 헤지확률을 이용하는 방법

1) 위험중립확률P 계산

 

2) 1기간 산식

3) 2기간 산식

 

(3) 위험중립모형

(4) 동적델타헷징

 

 

2. 블랙-숄즈 모형(Black-scholes Model)

source : Google search

콜가격 = 현재주가 x 헤지비율 - 행사가격의 현재가치 x 행사될 확률

🖍 옵션의 탄력성 옵션변동율을 주식변동율로 나눈 값($N(d_1)에 S를 곱하고 C로 나눈 값$)

(1) $N(d_1)$

주가변화에 대한 콜옵션가격의 변화 정도(헤지비율)

(2) $N(d_2)$

옵션 만기일에 콜옵션이 행사될 확률

(3) $-N(-d_1)$

주가변화에 대한 풋옵션가격의 변화정도(헤지비율)

(4) $N(-d_2)$

만기에 풋옵션이 행사될 확률

(5) Ke^{-rt}

행사가격의 현재가치(연속)

 

3. 옵션을 이용한 헤지

(1) 주식옵션

주식 1주와 콜옵션 m개의 헤지포트폴리오(또는 주식 h주와 콜옵션 1개)

🖍 헷지비율$N = m = 1/h = -(1/N(d_1))=-(1/\delta_C)$

📝 $\delta_C - \delta_P = 1 $(풋콜패리티를 이용)

 

(2) 주가지수옵션

 

4. 옵션의 응용

(1) 기업가치와 옵션

풋콜패리티를 응용한 기업의 자기자본 가치의 산출

$$ C = S + P - PV(X) $$

$$ S = V + P - PV(B) $$

$$ V - S = B^{risk} = PV(B) - P $$

 

(2) 포트폴리오 보험(portfolio insurance)

보유주식과 풋옵션의 합성 포지션으로 상승시 보험비용을 제외한 모든 이익을 가지고 가치하락시 일정 수준 이상으로 보호해주는 전략

주식매입 + 풋매입 = 무위험할인채 매입 + 콜매입

📝 복제포트폴리오 이용(보호적 풋 전략을 복제)

주식과 무위험채권을 결합하여 보호적 풋 전략을 복제할 수 있음(콜옵션, 풋옵션 등도 복제 가능)

	$ uS + (1+r_f)B = V_u $
$ S + B $
	$ dS + (1+r_f)B = V_d $

 

(3) 옵션부사채

1) 수의상환사채(Callable Bond)

발행기업이 만기 전에 맘대로 상환할 수 있는 사채

일반사채 - Call < 일반사채 # 행사가격 이상으로 가격이 올라가지 않음

 

2) 상환청구권부사채(Puttable Bond)

채권자가 상환을 요구할 수 있는 옵션을 가지고 있는 사채

일반사채 + Put > 일반사채 # 행사가격 이하로 가격이 떨어지지 않음

 

3) 신주인수권부사채(Bond with Warrants)

신주인수권(콜옵션)이 부여된 사채

🖍 신주인수권 가치 계산시 희석화 효과를 고려해야 함($ W = [1/(1+q)]C $)

일반사채 + Call > 일반사채

 

4) 전환사채(Convertible Bond)

사채를 상환하지 않고 주식으로 교환할 수 있는 권리가 부여된 사채

🖍 전환프리미엄 = (전환가격 - 현재주가)/현재주가

🖍 전환권가치 계산시 희석화 효과를 고려해야 함($ W = [1/(1+q)]C $)

일반사채 + Call > 일반사채

 

(4) 실물옵션(real option)

투자안을 기초자산으로 삼는 옵션

🖍 자본예산 평가기법과 달리 경영활동의 유연성과 그 전략적 가치를 반영할 수 있음

🖍 전통적 방법의 NPV에 실물옵션에 가치를 더해서 옵션이 가미된 투자안의 NPV를 계산

Call Option	Put Option
1. 연기옵션 2. 확장옵션 3. 조업재개옵션 4. 성장옵션	1. 처분옵션 2. 축소옵션 3. 포기옵션 4. 전용옵션

📝 실물옵션을 평가하는 방법

블랙-숄즈 모형(B-S model), 위험중립모형(위험중립확률P 이용), 동적자산 배분전략($S+P=PV(X)+C$), 복제포트폴리오($S+B$)

 

(5) 선물과 옵션의 결합

1) 합성선물

합성선물 매입(콜옵션 매입+풋옵션 매도), 합성선물 매도(콜옵션 매도+풋옵션 매입)

 

2) 합성옵션

합성 콜 옵션(선물 매입+풋옵션 매입), 합성 풋 매입(선물 매도+콜옵션 매입)

 

3) 풋-콜-선물 패리티

현물주식(S) 대신 선물(F)을 만기로 할인한 값을 활용